题目：已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}$，$g(x)=ax^{2}$，若总存在两条不同的直线与函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 图象均相切，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A. $\left(\dfrac{\mathrm{e}}{4},+\infty\right)$ B. $\left(\dfrac{\mathrm{e}}{2},+\infty\right)$ C. $\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ D. $\left(\dfrac{2}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
解答：
设 $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}$ 上切点 $\left(x_{1},y_{1}\right)$，$g(x)$ 上切点为 $\left(x_{2},y_{2}\right)$
$\because f'(x)=\mathrm{e}^{x-1}$，$g'(x)=2ax$
$\therefore \mathrm{e}^{x_{1}-1}=2ax_{2}$
公切线方程为 $y-\mathrm{e}^{x_{1}-1}=\mathrm{e}^{x_{1}-1}\left(x-x_{1}\right)$
$\therefore y=\mathrm{e}^{x_{1}-1}\left(x-x_{1}+1\right)$
带入点 $\left(x_{2},ax_{2}^{2}\right)$ 得 $ax_{2}^{2}=\mathrm{e}^{x_{1}-1}\left(x_{2}-x_{1}+1\right)$
$\therefore a\dfrac{\left(\mathrm{e}^{x_{1}-1}\right)^{2}}{4a^{2}}=\mathrm{e}^{x_{1}-1}\left(x_{2}-x_{1}+1\right)$
$\therefore \dfrac{\mathrm{e}^{x_{1}-1}}{4a}=\dfrac{\mathrm{e}^{x_{1}-1}}{2a}-x_{1}+1$
$\therefore 4a=\dfrac{\mathrm{e}^{x_{1}-1}}{x_{1}-1}\ \left(x_{1}\neq 1\right)$
依题可知该方程有两个实数解。
设 $h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$，则 $h'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}(x-1)}{x^{2}}$
$x>1$ 时 $h(x)$ 单增，$0<x<1$ 时 $h(x)$ 单减。
$x<0$ 时 $h(x)$ 单减且 $x\rightarrow 0$ 时 $f(x)\rightarrow-\infty$，$x\rightarrow-\infty$ 时 $f(x)\rightarrow 0$
$\therefore x>0$ 时 $h(x)_{\min}=h(1)=\mathrm{e}$
$\therefore a>\dfrac{4}{\mathrm{e}}$