若实数$x$，$y$满足$4\ln x + 2\ln y \geq x^{2} + 4y - 4$，则（ ）
A．$xy = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B．$x + y = \sqrt{2}$ C．$x + y = 1 + \sqrt{2}$ D．$x^{3}y = 1$
解 因为$4\ln x + 2\ln y \geq x^{2} + 4y - 4$，
所以$2\ln x + \ln y \geq \frac{1}{2}x^{2} + 2y - 2$，即$\ln\left( x^{2}y \right) \geq \frac{1}{2}x^{2} + 2y - 2$，
所以$\ln\left( \frac{1}{2}x^{2} \cdot 2y \right) \geq \frac{1}{2}x^{2} + 2y - 2$，
令$\frac{1}{2}x^{2} = a,2y = b$，
则$\ln(ab) \geq a + b - 2$，即$\ln a + \ln b \geq a + b - 2$，
所以$\ln a - a + 1 + \left( \ln b - b + 1 \right) \geq 0$，
令$g(x) = \ln x - x + 1$，则$g'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$，
当$x \in (0,1)$时，$g'(x) > 0$，$g(x)$单调递增，
当$x \in (1, + \infty)$时，$g'(x) < 0$，$g(x)$单调递减，
所以$g(x) = \ln x - x + 1$在$x = 1$处取得极大值，也是最大值，
$g(x)_{\max} = g(1) = \ln 1 - 1 + 1 = 0$，
要想使得$g(a) + g(b) = 0$成立，只有$a = b = 1$时，即$g(a) = g(b) = 0$时，满足要求，
所以$\frac{1}{2}x^{2} = 1,2y = 1$，
由定义域可知：$x > 0,y > 0$，
解得：$x = \sqrt{2},y = \frac{1}{2}$，
$xy = \frac{\sqrt{2}}{2}$，A选项正确；
$x + y = \sqrt{2} + \frac{1}{2}$，BC错误.
$x^{3}y = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \sqrt{2}$，D错误；