比较大小（五道试题汇编）

一、湖南省常德市 2022-2023 高三期末考试数学试题

题 7：已知 $a=\dfrac2{\ln2}$，$b=\dfrac3{\ln3}$，$c=\dfrac{\mathrm e^2}2$，则（　　）

A. $a<b<c$　　B. $b<c<a$　　C. $b<a<c$　　D. $a<c<b$

解：$a-b=\dfrac2{\ln2}-\dfrac3{\ln3}=\dfrac{2\ln3-3\ln2}{\ln2\ln3}=\dfrac{\ln9-\ln8}{\ln2\ln3}>0$

$\therefore\ a>b$。

$a=\dfrac2{\ln2}=\dfrac{\ln\mathrm e^2}{\ln2}=\log_2^{\mathrm e^2}$，$c=\dfrac12\mathrm e^2$。

由 $f(x)=\log_2^x$，$g(x)=\dfrac12x$ 图像易知 $a<c$。

$\therefore\ b<a<c$。

故选：C

二、江苏省徐州市 2022-2023 学年高三上学期期末复习数学试题

题 7：设 $a=0.01$，$b=\mathrm e^{-\frac{98}{99}}$，$c=-\ln0.99$，则（　　）

A. $a>b>c$　　B. $b>a>c$　　C. $b>c>a$　　D. $c>b>a$

解：$a=0.01=\dfrac1{100}=1-\dfrac{99}{100}$；

$c=-\ln0.99=\ln\dfrac{100}{99}$。

利用 $\ln x>1-\dfrac1x$ 可得 $\ln\left(\dfrac{100}{99}\right)>1-\dfrac{99}{100}$，

$\therefore\ c>a$。

利用 $\mathrm e^x>x+1\ (x>0)$，可得 $b=\mathrm e^{-\frac{98}{99}}>-\dfrac{98}{99}+1=\dfrac1{99}$；

利用 $\ln(x+1)<x$ 可得 $\ln\left(\dfrac{99}{99}+1\right)<\dfrac{99}{99}$，即 $c<\dfrac1{99}$。

$\therefore\ b>c>a$。

故选：C

三、贵州安顺市 2022-2023 学年上学期高三期末数学理科试卷第 10 题

题 10：$a=2022^{2023}$，$b=2023^{2022}$，$c=\log_{2023}^{2023}$，则 $a,b,c$ 的大小关系（　　）

A. $a<b<c$　　B. $b<a<c$　　C. $c<a<b$　　D. $c<b<a$

解：显然 $c$ 最小。

$\because\ \ln a=2023\ln2022$，$\ln b=2022\ln2023$，

\therefore\ \frac{\ln a}{2022\cdot2023}=\frac{\ln2022}{2022}\ ,\qquad \frac{\ln b}{2022\cdot2023}=\frac{\ln2023}{2023}

设 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。

$\therefore\ x>\mathrm e$ 时，$f(x)$ 单减。

$\therefore\ f(2023)<f(2022)$，即 $b<a$。

$\therefore\ c<b<a$。

故选：D

四、2023 届江苏省徐州市第七中学高三上学期一检测数学试题第 8 题

题 8：已知 $a=\dfrac{1}{\ln\sqrt2}$，$b=2\sqrt{\mathrm e}$，$c=\dfrac{3\sqrt[3]{\mathrm e^4}}{4}$，则 $a$、$b$、$c$ 的大小关系为（　　）

A. $a<c<b$　　B. $b<a<c$　　C. $c<b<a$　　D. $c<a<b$

解：$a=\dfrac{1}{\ln\sqrt2}=\dfrac{1}{\frac12\ln2}=\dfrac2{\ln2}=\dfrac{\mathrm e^{\ln2}}{\ln2}$，$b=2\sqrt{\mathrm e}=\dfrac{\mathrm e^{\frac12}}{\frac12}$，$c=\dfrac{3\sqrt[3]{\mathrm e^4}}{4}=\dfrac{\mathrm e^{\frac43}}{\frac43}$。

设 $f(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{x}$，$f'(x)=\dfrac{\mathrm e^x(x-1)}{x^2}$。

$\therefore\ x>1$ 时，$f(x)$ 单增；$0<x<1$ 时，$f(x)$ 单减。

$\because\ 0<\ln2<1$，$\ln2-\dfrac12=\ln2-\ln\sqrt{\mathrm e}=\ln\dfrac{2}{\sqrt{\mathrm e}}>0$

$\therefore\ f(\ln2)<f\left(\dfrac12\right)$，即 $a<b$。

$\because\ \dfrac2{\ln2}=\dfrac4{\ln4}$，$\therefore\ f(\ln2)=f(\ln4)$。

又 $\because\ \ln4-\dfrac43=\dfrac{2(3\ln2-2)}{3}=\dfrac{2}{3}\ln\dfrac{8}{\mathrm e^2}>0$

$\therefore\ f(\ln2)=f(\ln4)>f\left(\dfrac43\right)$，即 $a>c$。

$\therefore\ c<a<b$。

故选：D

五、辽宁省协作校 2022-2023 学年高三上学期期末考试数学试卷

题 7：已知 $a+2^a=2$，$b+3^b=2$，则 $b\lg a$ 与 $a\lg b$ 的大小关系为（　　）

A. $b\lg a<a\lg b$　　B. $b\lg a=a\lg b$　　C. $b\lg a>a\lg b$　　D. 不确定

解：易得 $2^a=-a+2$，$3^b=-b+2$。

由 $y=2^x$，$y=3^x$，$y=-x+2$ 图像易知 $0<b<a<1$。

思路一：

$\therefore\ a^b>b^a$，

$\therefore\ \lg a^b>\lg b^a$，

$\therefore\ b\lg a>a\lg b$。

思路二：

\frac{b\lg a}{ab}=\frac{\lg a}{a}\ ,\qquad \frac{a\lg b}{ab}=\frac{\lg b}{b}

设 $f(x)=\dfrac{\lg x}{x}$，$f'(x)=\dfrac{\lg\mathrm e-\lg x}{x^2}$。

$\therefore\ 0<x<\mathrm e$ 时，$f(x)$ 单增。

$\therefore\ f(a)>f(b)$，即 $b\lg a>a\lg b$。

故选：C