2026年高考数学新高考I卷第19题评价

第19题是全卷压轴，我得说它出得刁。往年压轴多半是函数、导数、解析几何那几张老脸，2026 偏要扔给你一个自己定义的新集合 $D(x_0)$，把函数和集俩基础概念搅到一起，逼你在考场上现读、现用。

题目：

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且当 $x < 0$ 时，$f(x) = 2^x$。对任意 $x_0 \in \mathbb{R}$，定义集合

$$D(x_0) = \{d \in \mathbb{R} \mid f(x_0 + d) > f(x_0)\}$$

(1) 若当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = 1 - x$，求 $D(-1)$；

(2) 若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1) \leq f(x_2)$，且 $x_1 x_2 \neq 0$，证明：$D(x_2) \subseteq D(x_1)$；

(3) 设 $f(x)$ 满足：

• ① 若 $f(x_1) \leq f(x_2)$，则 $D(x_2) \subseteq D(x_1)$；
• ② 当 $0 < x < 1$ 时，$f(x) < f(0)$。

&emsp;&emsp;(i) 证明 $f(0) \geq 1$；

&emsp;&emsp;(ii) 证明 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 单调递增。

命题人想考的，不是哪招熟技，而是你真懂不懂：集合的本质是元素的汇集，新定义的式子不过是层约束壳；函数可以分段、可以奇、可以抽象；逻辑能从已知一步步推到结论。四问递进，难度一层层爬：第一问中等生够得着，第二问中上能碰，第三问(i)要反证和抽象推理，第三问(ii)得构造加递推，没几个人能完整写下来。阅卷统计说平均完成度不到三成，绝大多数人只做出前两问，后两问直接空白——选拔功能算是拉满了。

考查知识点

| 知识模块 | 具体内容 | 考查深度 |

|---------|---------|---------|

| 集合与逻辑 | 新定义集合的理解、集合包含关系的证明 | 高 |

| 函数概念 | 分段函数、奇函数、抽象函数 | 高 |

| 指数函数 | $f(x) = 2^x$ 的性质与应用 | 中 |

| 函数单调性 | 利用定义证明单调性、单调性的应用 | 高 |

| 分类讨论 | 多维度参数分类、不重不漏 | 高 |

| 不等式 | 不等式的推导与放缩 | 中 |

| 反证法 | 假设矛盾、推出结论 | 高 |

| 逻辑推理 | 条件与结论的层层递推 | 极高 |

1. 新定义集合 $D(x_0)$ 的理解

这是解题的关键突破口。$D(x_0)$ 表示所有满足"将 $x_0$ 平移 $d$ 后函数值增大"的实数 $d$ 的集合。即：

$$D(x_0) = \{d \mid f(x_0 + d) > f(x_0)\}$$

本质上，这是一个以函数不等式为约束条件的实数集合。

2. 分段函数的完备讨论

由于 $f(x)$ 在 $x < 0$ 时表达式已知，而 $x \geq 0$ 时的表达式需要结合题目条件确定，因此讨论 $x_0 + d$ 与 0 的大小关系成为分类的核心依据。

3. 奇函数的隐性约束

第(2)问仅给出"奇函数"条件，需要学生自主推导完整表达式：

• $x < 0$ 时：$f(x) = 2^x$（已知）
• $x = 0$ 时：$f(0) = 0$（奇函数性质）
• $x > 0$ 时：$f(x) = -f(-x) = -2^{-x}$

解题方法

第(1)问：求 $D(-1)$ —— 基础切入法

核心思路：将集合问题转化为解不等式问题。

解题步骤：

1. 确定基准值：$f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

1. 分类讨论 $d$ 的取值：

• 情形一：$-1 + d < 0$（即 $d < 1$）
• 此时 $f(-1+d) = 2^{d-1}$
• 不等式：$2^{d-1} > 2^{-1}$，解得 $d > 0$
• 综合得：$0 < d < 1$

• 情形二：$-1 + d \geq 0$（即 $d \geq 1$）
• 此时 $f(-1+d) = 1 - (-1+d) = 2 - d$
• 不等式：$2 - d > \frac{1}{2}$，解得 $d < \frac{3}{2}$
• 综合得：$1 \leq d < \frac{3}{2}$

1. 合并结果：$D(-1) = \{d \mid 0 < d < \frac{3}{2}\}$

技巧要点：分类讨论不重不漏，临界值单独检验。

第(2)问：证明 $D(x_2) \subseteq D(x_1)$ —— 分类证明法

核心思路：证明集合包含关系，需证明"任意元素属于左集合则必属于右集合"。

解题框架：

由 $f(x_1) \leq f(x_2)$，结合 $f(x)$ 表达式分析，可分三种情形：

| 情形 | 条件 | $D(x_2)$ | $D(x_1)$ | 包含关系 |

|-----|------|---------|---------|---------|

| 1 | $x_1 \leq x_2 < 0$ | $(0, -x_2)$ | $(0, -x_1)$ | $D(x_2) \subseteq D(x_1)$ |

| 2 | $0 < x_1 \leq x_2$ | $(-\infty, -x_2] \cup (0, +\infty)$ | $(-\infty, -x_1] \cup (0, +\infty)$ | $D(x_2) \subseteq D(x_1)$ |

| 3 | $x_1 > 0 > x_2$ | $(0, -x_2)$ | $(-\infty, -x_1] \cup (0, +\infty)$ | $D(x_2) \subseteq D(x_1)$ |

技巧要点：

• 先确定 $f(x)$ 的完整分段表达式
• 按 $x_1, x_2$ 的正负分类是讨论的主线
• 每种情形下再按 $x + d$ 与 0 的关系细分
• 利用集合区间的端点比较证明包含关系

第(3)(i)问：证明 $f(0) \geq 1$ —— 反证法

核心思路：假设结论不成立，推出矛盾。

证明框架：

1. 反设：假设 $f(0) < 1$

1. 构造矛盾：

• 由于 $x < 0$ 时 $f(x) = 2^x < 1$，且当 $x \to 0^-$ 时 $f(x) \to 1$
• 故存在 $x_0 \in (-\varepsilon, 0)$，使得 $f(0) < f(x_0)$（接近0的负数处函数值趋近于1）
• 由条件①：$D(x_0) \subseteq D(0)$
• 又 $f(x_0 - \frac{x_0}{2}) = f(\frac{x_0}{2})$，由于 $\frac{x_0}{2} \in (-\frac{\varepsilon}{2}, 0)$，有 $f(\frac{x_0}{2}) > f(x_0)$（指数函数递增）
• 故 $-\frac{x_0}{2} \in D(x_0)$，从而 $-\frac{x_0}{2} \in D(0)$
• 即 $f(-\frac{x_0}{2}) > f(0)$

1. 导出矛盾：

• 但 $0 < -\frac{x_0}{2} < \frac{\varepsilon}{2} < 1$，由条件②：$f(-\frac{x_0}{2}) < f(0)$
• 矛盾！故假设不成立，$f(0) \geq 1$

技巧要点：

• 反证法的假设要清晰
• 利用指数函数的极限性质构造接近0的点
• 条件①和条件②的联合使用是破题关键

第(3)(ii)问：证明单调递增 —— 构造转化法

核心思路：将单调性证明转化为集合包含关系的推导。

证明框架：

1. 目标转化：要证 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 单调递增，即证：

• 对任意 $x_2 > x_1 > 0$，有 $f(x_2) > f(x_1)$

1. 关键构造：

• 令 $d = x_2 - x_1 > 0$
• 则 $f(-d + d) = f(0) \geq 1 > 2^{-d} = f(-d)$
• 故 $d \in D(-d)$

1. 传递推导：

• 若能证明 $D(-d) \subseteq D(x_1)$，则 $d \in D(x_1)$
• 即 $f(x_1 + d) > f(x_1)$，也就是 $f(x_2) > f(x_1)$
• 由条件①，只需证明 $f(x_1) \leq f(-d)$

1. 核心难点：证明 $f(x_1) \leq 0$ 对所有 $x_1 > 0$ 成立

• 情形A：假设存在 $t_1 \in (0, 1)$ 使 $f(t_1) > 0$
• 利用条件①和②推出矛盾
• 情形B：假设存在 $t_3 \in [1, +\infty)$ 使 $f(t_3) > 0$
• 构造 $t_4 < 0$，利用条件①和②推出矛盾

技巧要点：

• 将函数值大小比较转化为集合包含关系
• 反证法是处理"不可能存在"类结论的利器
• 条件的反复调用需要清晰的逻辑链条

难度与失分

| 小问 | 难度 | 分值 | 预期得分率 |

|-----|------|------|-----------|

| (1) | 中等 | 3-4分 | 60%-70% |

| (2) | 较难 | 4-5分 | 25%-35% |

| (3)(i) | 难 | 3-4分 | 10%-15% |

| (3)(ii) | 极难 | 3-4分 | 5%以下 |

失分的点挺集中：有人把 $D(x_0)$ 误当成函数而不是集合；分类讨论漏了临界情形或维度不够；证明时跳步、条件引用错，逻辑链断了；碰到没给具体表达式的抽象函数就发怵；再就是前面耗太多，压轴题仓促收场。

备考建议

打底子得回课本，集合、函数的定义定理自己能推一遍；文字、符号、图形三种语言互相翻得顺；别只记题型，得懂每个概念到底讲什么。能力上，新定义题专门练"现场学习"——读个新定义立刻能用；证明按"条件→依据→结论"写，不跳步；分类讨论多维度练到不重不漏；反证法、构造法、化归这些核心思想得在对应场景里用熟。

压轴的新定义题有套路可循：逐字圈画关键条件，先用特殊值探探底，前几问给后几问铺路，心里得认了"后两问可能做不完"的现实，把会做的拿满。考场上时间也得掐：选填 40 分钟内不恋战，中档大题每题 10 到 12 分钟把步骤写全，压轴留 20 到 25 分钟，先抢第一问。

说到底

2026 新高考 I 卷第19题是道好压轴：起点低、落点高，第一问谁都够得着，第三问(ii)几乎没人能完整写；反套路、重本质，没模板可套，纯靠现场拆解；少计算、重推理，不需要你算多狠，但要你推得严密；集合和函数揉到一起，透着数学的整体感。它给中学教学的信号很直白：刷题时代翻篇了，真正懂数学本质、会逻辑推理的孩子，才会在高考里冒出来。老师该多讲概念怎么长出来的，学生也该丢掉死记，去练思维和规范表达。