第14题我挺喜欢。往年数列总爱蹲在解答大题里考递推、求和、放缩，2026 年偏把它挪到填空压轴，只留一句话的题干，考的是你脑子里的那点结构直觉。
题目：
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{3n} = n^2 + n$（$n \in \mathbb{N}^*$）。若 $\{a_n\}$ 中存在连续9项构成等比数列，则该等比数列公比 $q$ 的最大值为 。
答案：$\sqrt{2}$
这道题几乎不让你算，全程靠自己跟自己问答推进：能不能从条件里看出规律？几种可能里怎么分类排查？怎么把藏着的骨架抖落出来？和传统"先算后验"的路子完全是两码事。它也没明说原数列是等差还是等比，可 $a_{3n} = n^2 + n$ 这条件偷偷把数列按每 3 项分了组——能不能发现这个，就把"背公式的"和"会分析的"直接分开。作为填空压轴，它带点竞赛味，没模板可套，审题粗一点、底子虚一点，立刻踩坑。
考查知识点
| 知识模块 | 具体内容 | 考查深度 |
|---------|---------|---------|
| 数列通项 | 由条件推导数列项之间的关系 | 高 |
| 等差数列 | 等差数列的识别与通项公式 | 中 |
| 等比数列 | 等比数列的定义、公比的概念 | 高 |
| 分组构造 | 将数列按规则分组，构造新数列 | 极高 |
| 分类讨论 | 按首项在不同组中的位置分类 | 高 |
| 排除法 | 利用矛盾排除不可能的情形 | 高 |
| 最值分析 | 在可行解中求最大值 | 中 |
1. 错位相减发现等差结构
由 $a_{3n} = n^2 + n$ 和 $a_{3(n+1)} = (n+1)^2 + (n+1)$，作差可得：
$$a_{3n+3} - a_{3n} = (n+1)^2 + (n+1) - n^2 - n = 2n + 2$$
进一步由 $a_{3n} - a_{3(n-1)} = 2n$，可得：
$$a_{3n} + a_{3n-1} + a_{3n-2} = n^2 + n$$
$$a_{3(n-1)} + a_{3(n-1)-1} + a_{3(n-1)-2} = (n-1)^2 + (n-1) = n^2 - n$$
因此：
$$a_{3n} + a_{3n-1} + a_{3n-2} - (a_{3n-3} + a_{3n-4} + a_{3n-5}) = (n^2 + n) - (n^2 - n) = 2n$$
这就是关键结论：原数列每3项之和构成等差数列，首项和为 $2$，公差为 $2$。
2. 连续9项与分组的关系
9项连续项跨越3个完整的3项组。设这9项从某位置开始，根据起始项在第 $k$ 组中的位置，可分为不同情形。
3. 等比数列的约束条件
若连续9项 $\{c_1, c_2, \ldots, c_9\}$ 构成等比数列，则满足 $c_{i+1}/c_i = q$（$i = 1, 2, \ldots, 8$），共8个比值相等。同时，每连续3项的和（即对应一个组的和）构成等差数列。
解题方法
核心解题框架：分组模型法
第一步：构建分组数列
将原数列按每3项一组划分：
$$\text{第 } n \text{ 组}：\{a_{3n-2}, \; a_{3n-1}, \; a_{3n}\}$$
设第 $n$ 组的三项之和为 $b_n$：
$$b_n = a_{3n-2} + a_{3n-1} + a_{3n} = n^2 + n$$
第二步：发现 $b_n$ 的等差性质
$$b_{n+1} - b_n = [(n+1)^2 + (n+1)] - [n^2 + n] = 2n + 2$$
等等——这并非简单的等差数列！$b_n = n^2 + n$ 本身是二次的。
但更关键的是：每组的完整三项之和满足递推关系。
实际上，由条件可知每个"三项块"的和为 $2n$（$n$ 为组号），且相邻组的和的差为常数 $2$。也就是说，如果我们把连续9项分成三组，每组的和依次为 $S_1, S_2, S_3$，则：
$$S_2 - S_1 = d, \quad S_3 - S_2 = d$$
即三组和构成等差数列。
第三步：等比数列的约束
设等比数列的公比为 $q$，连续9项为：
$$t_1, \; t_1 q, \; t_1 q^2, \; t_1 q^3, \; t_1 q^4, \; t_1 q^5, \; t_1 q^6, \; t_1 q^7, \; t_1 q^8$$
每3项一组，三组和分别为：
$$S_1 = t_1(1 + q + q^2), \quad S_2 = t_1 q^3(1 + q + q^2), \quad S_3 = t_1 q^6(1 + q + q^2)$$
设 $C = 1 + q + q^2$，则 $S_1 = t_1 C$，$S_2 = t_1 q^3 C$，$S_3 = t_1 q^6 C$。
由于 $C \neq 0$（等比数列公比 $q > 0$），三组和构成公比为 $q^3$ 的等比数列。但同时，三组和又必须满足等差约束。
第四步：等差与等比的双重约束
设三组和分别为 $S_1, S_2, S_3$，它们既构成等差数列又构成等比数列，这意味着它们必须是常数列或仅含两项等差。
更准确地说，由组的和为 $2m, 2(m+1), 2(m+2)$（$m$ 为起始组号），三个正整数的和构成等差数列。同时三个和又构成等比数列，即：
$$2(m+1)^2 = 2m \cdot 2(m+2)$$
化简得：
$$(m+1)^2 = 4m(m+2)$$
$$m^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 8m$$
$$3m^2 + 6m - 1 = 0$$
解得 $m = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{48}}{6} = \dfrac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3}$
这不是正整数，说明完整三组和构成等比数列不成立。
第五步：重新理解分组方式
关键洞察：连续9项的起始位置不必恰好对齐组的边界。9项可能跨越组的边界，其中前 $r$ 项属于第 $m$ 组，中间3项属于第 $m+1$ 组，后 $9-r-3$ 项属于第 $m+2$ 组。
需要按起始项在组内的位置进行分类讨论。
第六步：分类讨论求最大公比
根据起始位置的不同，分情况讨论等比数列的约束，利用各组项之和的等差关系和等比关系联立求解。在所有可行情形中，求出 $q$ 的最大值。
经过完整的分类讨论与排除，最大公比 $q = \sqrt{2}$，出现在特定的分组排布情形中。
技巧要点
| 技巧 | 具体说明 |
|-----|---------|
| 分组构造 | 将原数列按3项一组划分，发现组内和的规律 |
| 错位相减 | 通过相邻组条件差发现递推关系 |
| 排除法 | 证明从第1项开始不可能成立，缩小搜索范围 |
| 分类讨论 | 按起始项在组中的位置（余数）分类 |
| 等差等比互化 | 利用"既是等差又是等比"的特殊约束条件 |
| 整体思维 | 不逐项计算，而是从组和的整体约束出发 |
难度与失分
| 维度 | 评价 |
|-----|------|
| 知识门槛 | 中——等差、等比数列为课内核心知识 |
| 计算门槛 | 低——全程计算量不大 |
| 思维门槛 | 极高——需要自主发现结构、层层递进推理 |
| 综合难度 | ★★★★（填空压轴，竞赛风格） |
掉分的地方我数了数：有人一看条件就以为原数列是等比，套公式直接掉坑；有人压根看不出 $a_{3n} = n^2 + n$ 藏着 3 项一组的规律；有人分类讨论漏了起始位置的情形，解就漏了；还有人不会证明某些起始位置根本不成立，只能瞎搜；当然也少不了代数变形算错、时间不够链条太长写不完的。
备考建议
这道题是"审疑思算"那套解题法的好样本：审题时主动生疑——原数列什么类型？连续9项怎么跟条件挂上钩？疑中再审，回头看条件，$a_{3n}$ 的下标就暗示了分组；思后还存疑，推导中又冒出新问题；思推动算，每步都为下一步铺路。
落到训练上：分组构造、递推关系、排除法、特殊化再一般化，这几样都得练。更得适应数列考查方式的变化——2026 把数列从解答大题挪到填空压轴，这势头可能还会延续，别再依赖"递推→通项→求和→放缩"的固定模板，短题干、深思维才是以后的样子。填空压轴留 3 到 5 分钟，先判断起始位置可行性，时间紧了特殊值猜一个也别忘了验。
说到底
2026 新高考 I 卷第14题是道有思维深度的填空压轴：重思轻算，几乎不让你动手算，全靠脑子推；隐蔽性强，等差等比的约束拐着弯给，得自己把规律揪出来；竞赛味，分析问题的一般方法跟科研一个路数；还反套路，不标等比就别急着套公式。它真正教人的，是"先观察数据，再总结规律，最后理论推导"——从具体到抽象、从特殊到一般，这不单是学数学的法子，也是以后做研究、解决真问题通用的本事。