题目：设非零实数 $x, y$ 满足 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = x^2 - y^2$，则 $x^2 + y^2$ 的最小值为 $\underline{\quad}.$
解：令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，
$$
\text{左边 } \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{2}{\sin 2\theta},
$$
$$
\text{右边 } x^2 - y^2 = r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = r^2\cos 2\theta.
$$
所以等式可变形为
$$
\frac{2}{\sin 2\theta} = r^2\cos 2\theta \Leftrightarrow r^2 = \frac{2}{\sin 2\theta \cos 2\theta} = \frac{4}{\sin 4\theta},
$$
又 $r^2 = x^2 + y^2 > 0$，所以 $x^2 + y^2$ 的最小值为 4。