直角三角形 b+c 的最小值
题目：$\triangle ABC$ 中，$\angle A=90^\circ$，点 $D$ 在边 $BC$ 上且满足 $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c}{4b}$，$AD=1$，则 $b+c$ 的最小值为 。
解法一（向量法）
依题意 $\overrightarrow{BD}=\dfrac{c}{4b}\overrightarrow{DC}$，即 $BD:DC=c:4b$，故
$$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\frac{c}{4b+c}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$$
$$\therefore\ \overrightarrow{AD}=\frac{4b}{4b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{4b+c}\overrightarrow{AC}$$
由 $AD=1$，$\angle A=90^\circ$（即 $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$，$|\overrightarrow{AB}|=c$，$|\overrightarrow{AC}|=b$）：
$$1=\left(\frac{4b}{4b+c}\right)^2c^2+\left(\frac{c}{4b+c}\right)^2b^2$$
$$\therefore\ (4b+c)^2=17b^2c^2\ \Longrightarrow\ 4b+c=\sqrt{17}\,bc$$
两边同除以 $\sqrt{17}\,bc$：
$$\frac{4}{\sqrt{17}\,c}+\frac{1}{\sqrt{17}\,b}=1$$
$$\therefore\ b+c=(b+c)\left(\frac{4}{\sqrt{17}\,c}+\frac{1}{\sqrt{17}\,b}\right)=\frac{5}{\sqrt{17}}+\frac{4b}{\sqrt{17}\,c}+\frac{c}{\sqrt{17}\,b}\ge\frac{5}{\sqrt{17}}+2\sqrt{\frac{4}{17}}=\frac{9\sqrt{17}}{17}$$
当且仅当 $\dfrac{4b}{c}=\dfrac{c}{b}$（即 $c=2b$）时取等号，$b+c$ 的最小值为 $\boxed{\dfrac{9\sqrt{17}}{17}}$。
解法二（相似法）
如图所示，延长 $AD$ 于 $E$，使 $BE\parallel AC$，则 $\triangle BDE\sim\triangle CDA$。
$$\therefore\ \angle EBD=\angle ACB,\quad \frac{BE}{AC}=\frac{DE}{AD}=\frac{BD}{DC}=\frac{c}{4b}$$
$$\therefore\ \angle ABE=90^\circ,\quad BE=\frac{c}{4},\quad DE=\frac{c}{4b}$$
在 Rt$\triangle ABE$ 中：$AE^2=c^2+\dfrac{c^2}{16}=\left(1+\dfrac{c}{4b}\right)^2$，得 $AE=\dfrac{\sqrt{17}\,c}{4}$，
$$\therefore\ \frac{4}{c}+\frac{1}{b}=\sqrt{17}\ \Longrightarrow\ b=\frac{c}{\sqrt{17}\,c-4}$$
令 $x=\sqrt{17}\,c-4>0$，则 $c=\dfrac{x+4}{\sqrt{17}}$：
$$b+c=\frac{c}{x}+c=\frac{x+4}{\sqrt{17}\,x}+\frac{x+4}{\sqrt{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\left(x+5+\frac{4}{x}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{17}}(2\sqrt4+5)=\frac{9\sqrt{17}}{17}$$
当且仅当 $x=2$（即 $c=\dfrac{6}{\sqrt{17}}$）时取等号，结论一致。