指对不等式常见的构造
常见的函数模型：
$$y=xe^{-x},\quad y=e^{-x}\pm x,\quad y=\frac{e^x}{x},\quad y=x\pm\ln x,\quad y=x\ln x,\quad y=\frac{\ln x}{x}$$
常见的同构方法：
$$x=e^{\ln x},\quad xe^{-x}=e^{-x+\ln x},\quad \frac{e^x}{x}=e^{-\ln x+x},\quad x+\ln x=\ln x+e^{\ln x},\quad x\ln x=\ln x\,e^{\ln x}$$
- $y=x\pm\ln x=e^{\ln x}\pm\ln x$ 与 $y=e^x\pm x$ 同构
- $y=e^{-x}\pm x=e^{-x}\pm\ln e^x$ 与 $y=x\pm\ln x$ 同构
- $y=\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln x}{e^{\ln x}}$ 与 $y=\dfrac{\ln x}{e^x}$ 同构
- $y=\dfrac{x}{e^x}=\dfrac{\ln e^x}{e^x}$ 与 $y=\dfrac{\ln x}{x}$ 同构
- $y=x\ln x=e^{\ln x}\ln x$ 与 $y=xe^x$ 同构
- $y=xe^{-x}=e^{-x}\ln e^x$ 与 $y=x\ln x$ 同构
常见的放缩：
$$e^x\geq x+1 \;\Longrightarrow\;
\begin{cases}
e^{x-1}\geq x \\[2pt]
e^x\geq ex \;\Rightarrow\; e^{\frac{x}{n}}\geq \dfrac{x}{n}\cdot e \\[2pt]
e^{x+\ln x}\geq x+\ln x+1 \\[2pt]
e^{-x}>x \;\Rightarrow\; e^{-x}>-x \;\Rightarrow\; e^x<-\dfrac{1}{x}\;(x<0) \\[2pt]
e^{-x}>-x+1 \;\Rightarrow\; e^x<\dfrac{1}{1-x}\;(x<1)
\end{cases}$$
$$e^x\geq 1+x+\frac{1}{2}x^2\;(x>0),\qquad e^x\geq 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3$$
$$\ln x\leq x-1 \;\Longrightarrow\;
\begin{cases}
\ln(x+1)\leq x\;(x>-1) \\[2pt]
\ln x\geq 1-\dfrac{1}{x}
\end{cases}$$
$$\ln x<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)\;(x>1),\qquad \ln x>\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)\;(0<x<1)$$
$$\ln x\leq x^2-x,\qquad \ln(x+1)\geq x-\frac{1}{2}x^2\;(x>0),\qquad \ln(x+1)\leq x-\frac{1}{2}x^2\;(-1<x<0)$$
$$\ln x>\frac{2(x-1)}{x+1}\;(x>1),\qquad \ln x<\frac{2(x-1)}{x+1}\;(0<x<1)$$
$$e^x-\ln x>(x+1)-(x-1)=2$$
$$x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right):\ \sin x<x<\tan x,\quad \sin x\geq x-\frac{1}{6}x^3\ \langle\text{系数模糊，按标准不等式辨析：}\sin x\geq x-\tfrac{x^3}{6}\rangle,\quad 1-\frac{1}{2}x^2\leq\cos x\leq 1-\frac{1}{2}\sin^2 x$$