x+2y-2=ex+3lny

12. 若 $x+\dfrac{3}{2}y-2=e^{x}+3\ln\dfrac{y}{2}$，其中 $x>2$，$y>2$，则（　　）

A. $e^{x}<y$　　B. $2x>y$　　C. $4e^{\frac{x}{2}}>y$　　D. $2e^{x}>y$

解： 原始可化为 $\dfrac{3}{2}y-2-3\ln\dfrac{y}{2}=e^{x}-x$

$\therefore e^{x}-x=3\left(\dfrac{y}{2}-\ln\dfrac{y}{2}\right)-2$

设 $f(x)=x-\ln x$，则 $f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$

$\therefore x>1$ 时 $f(x)$ 单增

$\because y>2$

$\therefore f\left(\dfrac{y}{2}\right)=\dfrac{y}{2}-\ln\dfrac{y}{2}>f(1)=1$

$\therefore 3\left(\dfrac{y}{2}-\ln\dfrac{y}{2}\right)-2-\left(\dfrac{y}{2}-\ln\dfrac{y}{2}\right)=2\left(\dfrac{y}{2}-\ln\dfrac{y}{2}-1\right)>0$

$\therefore e^{x}-x>\dfrac{y}{2}-\ln\dfrac{y}{2}=e^{\ln\dfrac{y}{2}}-\ln\dfrac{y}{2}$

设 $g(x)=e^{x}-x$，则 $g'(x)=e^{x}-1$

$\therefore x>0$ 时 $g(x)$ 单增

$\because x>2$，$\ln\dfrac{y}{2}>0$

$\therefore x>\ln\dfrac{y}{2}$

$\therefore 2e^{x}>y$，故 D 正确