本题为江苏省苏北五校（徐州三中、扬大附中等）2026-2027学年高三上学期第一次学情调研试题数学试题第11题
$题目：若实数 x_1 > e, x_2 > e, x_3 > 1，且 \frac{\ln x_1}{x_1-1} = \frac{\ln(ex_2)}{x_2} = \frac{x_3}{e^{x_3}}，则（ ）$
$A. x_3 < \ln x_1$
$B. x_1 < x_2$
$C. x_1 > x_2$
$D. x_1 - x_3 > 1$
解：$由对数运算性质得 \ln(ex_2) = 1 + \ln x_2，因此已知等式可改写为：$
$\frac{\ln x_1}{x_1 - 1} = \frac{1 + \ln x_2}{x_2} = \frac{x_3}{e^{x_3}}.$
$构造函数 f(x) = \frac{x}{e^x}，求导得 f'(x) = \frac{e^x - xe^x}{(e^x)^2} = \frac{1-x}{e^x}，$
$当 x > 1 时，1 - x < 0，e^x > 0，故 f'(x) < 0，即 f(x) 在 (1, +\infty) 上单调递减。$
$由 \frac{\ln x_1}{x_1 - 1} = \frac{x_3}{e^{x_3}}，可得 \frac{\ln x_1}{e^{\ln x_1}} = \frac{x_3}{e^{x_3}}，即 f(\ln x_1) = f(x_3)。$
$已知 x_1 > e，故 \ln x_1 > 1，又 x_3 > 1，$
$结合 f(x) 在 (1, +\infty) 单调递减，可得 \ln x_1 = x_3，$
$即 x_3 = \ln x_1，故 A 错误。$
$构造函数 g(x) = \frac{\ln x}{x-1} \ (x > 1)，求导得：$
$g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (x-1) - \ln x}{(x-1)^2} = \frac{1 - \frac{1}{x} - \ln x}{(x-1)^2}.$
$令 h(x) = 1 - \frac{1}{x} - \ln x，求导得 h'(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = \frac{1-x}{x^2}，$
$当 x > 1 时 h'(x) < 0，故 h(x) 在 (1, +\infty) 单调递减，h(x) < h(1) = 0，$
$因此 g'(x) < 0，即 g(x) 在 (1, +\infty) 单调递减。$
$由 \frac{\ln x_1}{x_1 - 1} = \frac{1 + \ln x_2}{x_2}，可得 \frac{\ln x_1}{x_1 - 1} = \frac{\ln(ex_2)}{ex_2 - 1}，即 g(x_1) = g(ex_2)。$
$已知 x_2 > e，故 ex_2 > e^2 > 1，又 x_1 > e > 1，结合 g(x) 单调递减，可得 x_1 = ex_2，$
$即 x_1 > x_2，故 B 错误，C 正确。$
$构造函数 m(x) = x - \ln x \ (x > 1)，求导得 m'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}，$
$当 x > 1 时 m'(x) > 0，故 m(x) 在 (1, +\infty) 单调递增，因此 m(x) > m(1) = 1，即 x - \ln x > 1。$
$已知 x_1 > e > 1，故 x_1 - \ln x_1 > 1，结合 \ln x_1 = x_3，可得 x_1 - x_3 > 1，故 D 正确。$
$综上，正确选项为 C、D。$