本题为天津市北辰区华辰学校2026-2027学年高一第一次数学学习成果阶段性检测数学试题第15题。
$题目： 已知 a, b 为正实数，且 a \le b+1，若 ab+b^2+1 \ge 2m(a+b) 恒成立，则 m 的最大值为 \underline{\quad}.$
$解答：由 ab+b^2+1 \ge 2m(a+b) 恒成立，且 a, b 为正实数，$
$而 ab+b^2 = b(a+b)，得 m \le \frac{b(a+b)+1}{2(a+b)} = \frac{b}{2} + \frac{1}{2(a+b)} 恒成立，$
$又 a \le b+1，则 a+b \le 2b+1，所以 \frac{b}{2} + \frac{1}{2(a+b)} \ge \frac{b}{2} + \frac{1}{4b+2}.$
$令 t = 4b+2 > 2，则 b = \frac{t-2}{4}，$
$所以 \frac{b}{2} + \frac{1}{4b+2} = \frac{t-2}{8} + \frac{1}{t} = \frac{t}{8} + \frac{1}{t} - \frac{1}{4} \ge 2\sqrt{\frac{t}{8} \cdot \frac{1}{t}} - \frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{2}-1}{4}，$
$当且仅当 \frac{t}{8} = \frac{1}{t}，即 t = 2\sqrt{2}，即 b = \frac{\sqrt{2}-1}{2}，且 a = b+1 = \frac{\sqrt{2}+1}{2} 时取等号，$
$所以 m \le \frac{2\sqrt{2}-1}{4}，则 m 的最大值为 \frac{2\sqrt{2}-1}{4}.$