四边形 AB=1，BC=3

题目：如图，四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=3$，$CD=2$，$\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，则 $\triangle AED$ 面积的最大值为__．

解答

依题可知 $BE=1,\ EC=2$，即 $AB=BE=1,\ CD=CE=2$。

设 $\angle AEB=\alpha,\ \angle DEC=\beta\ \left(\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$。

$\triangle ABE$ 中 $AB=BE=1$（等腰），$\triangle DCE$ 中 $CD=CE=2$（等腰），故

AE=2\cos\alpha,\qquad DE=4\cos\beta

又 $\angle AEB+\angle AED+\angle DEC=\pi$，即 $\angle AED=\pi-\alpha-\beta$，所以

S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}\cdot 2\cos\alpha\cdot 4\cos\beta\cdot\sin(\pi-\alpha-\beta)=4\cos\alpha\cos\beta\sin(\alpha+\beta)

=2\bigl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr]\sin(\alpha+\beta)=\sin(2\alpha+2\beta)+\sin2\alpha+\sin2\beta

=(\cos2\beta+1)\sin2\alpha+\sin2\beta\cos2\alpha+\sin2\beta=\sqrt{(\cos2\beta+1)^2+\sin^2 2\beta}\,\sin(2\alpha+\varphi)+\sin2\beta

=\sqrt{2+2\cos2\beta}\,\sin(2\alpha+\varphi)+\sin2\beta=2\cos\beta\sin(2\alpha+\varphi)+\sin2\beta

其中 $\tan\varphi=\dfrac{\sin2\beta}{1+\cos2\beta}=\tan\beta$，取 $\alpha=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}$ 时 $\sin(2\alpha+\varphi)=1$，故

S_{\triangle AED}\le 2\cos\beta+\sin2\beta=2\cos\beta(1+\sin\beta)

设 $f(x)=2\cos x+\sin2x\ \left(0<x<\dfrac{\pi}{2}\right)$，则

f'(x)=-2\sin x+2\cos2x=-2(\sin x+1)(2\sin x-1)

$\therefore 0<\sin x<\dfrac{1}{2}$ 即 $0<x<\dfrac{\pi}{6}$ 时 $f(x)$ 单增；

$\sin x>\dfrac{1}{2}$ 即 $\dfrac{\pi}{6}<x<\dfrac{\pi}{2}$ 时 $f(x)$ 单减。

\therefore\ f(x)_{\max}=f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}

\therefore\ S_{\triangle AED}\le\boxed{\frac{3\sqrt3}{2}}

即 $\triangle AED$ 面积的最大值为 $\dfrac{3\sqrt3}{2}$（此时 $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{6}$）。