锐角三角形 S=bc(1-cosA)

题目：在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $\triangle ABC$ 的面积 $S=bc(1-\cos A)$，则 $\dfrac{a^2}{bc}$ 的取值范围为（　　）

A. $\left[\dfrac{4}{5},+\infty\right)$　　B. $\left[\dfrac{4}{5},\dfrac{16}{15}\right)$　　C. $\left[\dfrac{4}{5},\dfrac{32}{35}\right)$　　D. $\left[\dfrac{32}{35},\dfrac{16}{15}\right)$

解法一（快解）

依题意可知 $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=bc-bc\cos A$，

\therefore\ \sin A+2\cos A=2

\therefore\ \sin^2 A+\cos^2 A=1 \implies \cos A=\frac{3}{5},\ \sin A=\frac{4}{5}

由正弦定理与积化和差：

\frac{a^2}{bc}=\frac{\sin^2 A}{\sin B\sin C}=\frac{\dfrac{16}{25}}{-\dfrac{1}{2}\bigl(\cos(B+C)-\cos(B-C)\bigr)}=\frac{\dfrac{16}{25}}{\dfrac{1}{2}\cos A+\dfrac{1}{2}\cos(B-C)}=\frac{\dfrac{16}{25}}{\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{2}\cos(B-C)}

设 $B-C=t$。

$\because B+C=\pi-A$，且 $0<2B<\pi$，$0<2C<\pi$（锐角三角形），

$\therefore -A<B-C=t<A$，$\therefore \cos t>\cos A=\dfrac{3}{5}$，又 $\cos t\le 1$，

\therefore\ \frac{4}{5}\le \frac{16/25}{\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{2}\cos t}<\frac{16/25}{\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10}}=\frac{16}{15}

即 $\dfrac{4}{5}\le \dfrac{a^2}{bc}<\dfrac{16}{15}$，故选 B。

（注：$\cos t=1$ 即 $B=C$ 时取到下界 $\dfrac45$；上界 $\dfrac{16}{15}$ 因锐角限制取不到。）

附：锐角三角形中 $|B-C|<A$ 的证明

$\because B<\dfrac{\pi}{2},\ C<\dfrac{\pi}{2}$，$B+C=\pi-A$，

$B-C<A \iff B< A+C=\pi-B \iff B<\dfrac{\pi}{2}$ ✓；同理 $C-B<A \iff C<\dfrac{\pi}{2}$ ✓。

$\therefore |B-C|<A$，从而 $\cos(B-C)>\cos A$。

锐角三角形常用结论

结论 1：$\begin{cases} b^2-c^2<a^2,\\ c^2-a^2<b^2,\\ a^2-b^2<c^2; \end{cases}$

结论 2：$\begin{cases} B+C>A,\\ C+A>B,\\ A+B>C; \end{cases}$

结论 3：$\begin{cases} b+c>a\cot\dfrac{A}{2},\\ c+a>b\cot\dfrac{B}{2},\\ a+b>c\cot\dfrac{C}{2}; \end{cases}$

结论 4：$\begin{cases} |b-c|<a\tan\dfrac{A}{2},\\ |c-a|<b\tan\dfrac{B}{2},\\ |a-b|<c\tan\dfrac{C}{2}; \end{cases}$

结论 5：$\begin{cases} \dfrac{a^2}{4}\left(\cot\dfrac{A}{2}-\tan\dfrac{A}{2}\right)<bc\le\dfrac{a^2}{2-2\cos A},\\[2mm] \dfrac{b^2}{4}\left(\cot\dfrac{B}{2}-\tan\dfrac{B}{2}\right)<ac\le\dfrac{b^2}{2-2\cos B},\\[2mm] \dfrac{c^2}{4}\left(\cot\dfrac{C}{2}-\tan\dfrac{C}{2}\right)<ab\le\dfrac{c^2}{2-2\cos C}. \end{cases}$

解法二（均值不等式）

依题意可知 $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=bc-bc\cos A$，

\therefore\ \sin A+2\cos A=2 \implies \cos A=\frac{3}{5},\ \sin A=\frac{4}{5}

\therefore\ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3}{5} \implies a^2=b^2+c^2-\frac{6}{5}bc

\therefore\ \frac{a^2}{bc}=\frac{b^2+c^2-\frac{6}{5}bc}{bc}=\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-\frac{6}{5}

设 $m=\dfrac{b}{c}>0$，则 $\dfrac{a^2}{bc}=m+\dfrac{1}{m}-\dfrac{6}{5}\ge 2-\dfrac{6}{5}=\dfrac{4}{5}$，

当且仅当 $m=1$（即 $b=c$）时取等号。

由锐角条件（$a^2<b^2$ 且 $a^2<c^2$）可得 $\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}<\dfrac{34}{15}$，

\therefore\ \frac{4}{5}\le\frac{a^2}{bc}<\frac{16}{15}

故答案为 $\left[\dfrac45,\dfrac{16}{15}\right)$。

锐角三角形s=bc(1-cos

锐角三角形 S=bc(1-cosA)

解法一（快解）

附：锐角三角形中 $|B-C|<A$ 的证明

锐角三角形常用结论

解法二（均值不等式）