双曲线离心率：$e^2+\frac{a^2}{4}$ 的最小值
注：题干部分图片（img_06/07/08）GDI 渲染字迹严重重叠、不可辨认；以下题干按可辨认的行内片段与解答过程反推。已知条件中使 $|MF|\cdot|NF|=4$ 成立的条件（如平行四边形面积 $2\sqrt{3}$ 或直接给定乘积）无法确认，请核对原试卷。
题目（反推）： 已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ 的左、右焦点为 $F_1$、$F_2$，$M$、$N$ 是双曲线上两点，四边形 $MF_1NF_2$ 为平行四边形，$\angle F_1MF_2=60^\circ$，且 $|MF_1|\cdot|MF_2|=4$，求 $e^2+\dfrac{a^2}{4}$ 的最小值。
解： 依题可知四边形 $MNF_2F_1$ 为平行四边形。
由余弦定理可得
$$|MN|^2=|MF_2|^2+|NF_2|^2-2|MF_2|\cdot|NF_2|\cos 60^\circ$$
$$|F_1F_2|^2=|MF_1|^2+|MF_2|^2-2|MF_1|\cdot|MF_2|\cos 120^\circ$$
$$\therefore |MN|^2=|MF|^2+|NF|^2-4$$
$$4c^2=|MF_1|^2+|MF|^2+4$$
$$\therefore |MN|^2=4c^2-8$$
$\because |MF|-|NF|=2a$
$$\therefore |MF|^2+|NF|^2-2|MF|\cdot|NF|=4a^2$$
$$\therefore |MN|^2+4-8=4a^2$$
$$\therefore |MN|^2=4a^2+4$$
$$\therefore 4c^2-8=4a^2+4$$
$$\therefore c^2=a^2+3$$
$$\therefore e^2+\frac{a^2}{4}=\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2+3}{a^2}+\frac{a^2}{4}=1+\frac{3}{a^2}+\frac{a^2}{4}\geq 1+\sqrt{3}$$
（当且仅当 $\dfrac{a^2}{2}=\sqrt{3}$ 即 $a^2=2\sqrt{3}$ 时取等号，最小值为 $1+\sqrt{3}$。）