题目：已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^{2}+4a, & x>0 \\ 1+\log_{a}\left|x-1\right|, & x\leq 0\end{cases}$（$a>0$ 且 $a\neq 1$）在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是＿＿＿＿＿，若关于 $x$ 的方程 $|f(x)|=x+3$ 恰有两个不相等的实数解，则 $a$ 的取值范围是＿＿＿＿＿.
【答案】$\left[\dfrac{1}{4},1\right)$；$\left[\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}\right]\cup\left\{\dfrac{13}{16}\right\}$
【详解】①当 $x\leq 0$ 时，$f(x)=1+\log_{a}\left|x-1\right|=1+\log_{a}\left(-x+1\right)$，因为该函数在 $(-\infty,0]$ 上单调递增，所以 $0<a<1$，若要 $f(x)$ 在 $R$ 上单调递增，还需满足 $4a\geq 1$，即 $a\geq \dfrac{1}{4}$，所以 $\dfrac{1}{4}\leq a<1$。②作出图像：
当 $x\leq 0$ 时，易知直线 $y=x+3$ 与曲线 $y=\left|f(x)\right|$ 一定只有一个公共点，故只需直线 $y=x+3$ 与曲线 $y=x^{2}+4a$ 只有一个公共点即可；
由 $f(x)=x^{2}+4a\ (x>0)$，得 $f'(x)=2x$，令 $2x=1$，得 $x=\dfrac{1}{2}$，代入 $y=x+3$，得 $y=\dfrac{7}{2}$，由 $\dfrac{7}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+4a$，得 $a=\dfrac{13}{16}$，此时直线 $y=x+3$ 与曲线 $f(x)=x^{2}+4a\ (x>0)$ 相切，有且只有一个公共点；
当 $4a\leq 3$，即 $a\leq \dfrac{3}{4}$ 时，直线 $y=x+3$ 与曲线 $f(x)=x^{2}+4a\ (x>0)$ 有且只有一个公共点．
又 $\dfrac{1}{4}\leq a<1$，所以 $\dfrac{1}{4}\leq a\leq \dfrac{3}{4}$．
综上可知，$a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}\right]\cup\left\{\dfrac{13}{16}\right\}$．
故答案为：$\left[\dfrac{1}{4},1\right)$；$\left[\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}\right]\cup\left\{\dfrac{13}{16}\right\}$．