题目：已知函数 $f(x)=a^{2x}-x\ (a>0,a\neq 1)$，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数 $f(x)$ 恒有 $1$ 个极值点
B. 当 $a=\mathrm{e}$ 时，曲线 $y=f(x)$ 恒在曲线 $y=\ln x+2$ 上方
C. 若函数 $f(x)$ 有 $2$ 个零点，则 $1<a<\mathrm{e}^{\frac{1}{2\mathrm{e}}}$
D. 若过点 $P(0,t)$ 存在 $2$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切，则 $0<t<1$
解答：
对于选项 A：$f(x)$ 恒有极值点则 $f'(x)=2a^{2x}\ln a-1=0$ 必有解。
显然 $0<a<1$ 时 $2a^{2x}\ln a<0$，$f'(x)=0$ 无解。故选项 A 错误。
对于选项 B：$f(x)$ 图像恒在 $y=\ln x+2$ 上方即 $\mathrm{e}^{2x}-x>\ln x+2$ 恒成立。
$\because \mathrm{e}^{x}\geq x+1\ (x=0$ 时等号成立$)$，$\ln x\leq x-1\ (x=1$ 时等号成立$)$
$\therefore \mathrm{e}^{x}-\ln x>2$
设 $g(x)=\mathrm{e}^{2x}-x-\mathrm{e}^{x}$，则 $g'(x)=2\mathrm{e}^{2x}-1-\mathrm{e}^{x}=(\mathrm{e}^{x}-1)(2\mathrm{e}^{x}+1)$
$\therefore x>0$ 时 $g(x)$ 单增，$x<0$ 时 $g(x)$ 单减
$\therefore g(x)_{\min}=g(0)=0$
$\therefore \mathrm{e}^{2x}-x>\mathrm{e}^{x}>\ln x+2$，故选项 B 正确。
对于选项 C 套用结论即可：
$1<a<\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ 时 $y=a^{x}$ 与 $y=\log_{a}(x)$ 有两个交点且都在 $y=x$ 上。
$f(x)$ 有两个零点即 $a^{2x}=x$ 有两个解，即 $y=a^{2x}$ 与 $y=\log_{a^{2}}(x)$ 有两个都在 $y=x$ 上的公共点。
$\therefore 1<a^{2}<\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$，即 $1<a<\mathrm{e}^{\frac{1}{2\mathrm{e}}}$。故选项 C 正确。
对于选项 D：设切线切点为 $\left(x_{0},a^{2x_{0}}-x_{0}\right)$
则 $f'(x_{0})=2a^{2x_{0}}\ln a-1$
$\therefore$ 切线方程为 $y-a^{2x_{0}}+x_{0}=\left(2a^{2x_{0}}\ln a-1\right)\left(x-x_{0}\right)$
带入 $(0,t)$ 得 $t=a^{2x_{0}}\left(-\ln a^{2x_{0}}+1\right)$
设 $m=a^{2x_{0}}\ (m>0)$，则 $t=m(-\ln m+1)$
设 $h(m)=m(-\ln m+1)$，则 $h'(m)=-\ln m$
$\therefore m>1$ 时 $h(m)$ 单减，$0<m<1$ 时 $h(m)$ 单增
$\therefore h(m)_{\max}=h(1)=1$
$\therefore 0<t<1$。故选项 D 正确。
答案：BCD