一道非常经典的不等式最值问题。思路一利用代数变形和不等式放缩，解法简洁技巧性强。思路二按部就班地换元、联立、判别式、求最值，方法常规计算量大。
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\begin{aligned}
&\text{实数 }a,b,c\text{ 满足 }a^2+b^2+c^2=2023,\ \text{求 }M=\min\{(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\}\text{ 的最大值}\\
&\text{思路一： }\\
&\text{解：不妨设 }a\ge b\ge c,\ \text{则 }a-c\ge b-c\ge0\\
&\therefore M=\min\{(a-b)^2,(b-c)^2\}\le(a-b)(b-c)\le\left(\frac{a-b+b-c}{2}\right)^2=\frac{(a-c)^2}{4}\\
&\because M\le(a-b)^2,\ M\le(b-c)^2,\ M\le(a-c)^2\\
&\therefore 6M\le(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\le3(a^2+b^2+c^2)=2023\times3\\
&\therefore M\le1011.5\\
&\text{思路二： }\\
&\text{不妨设 }a\ge b\ge c,\ b=c+m,\ a=c+m+n\ (m\ge0,\ n\ge0)\\
&\therefore(c+m+n)^2+(c+m)^2+c^2=2023\\
&\therefore3c^2+2c(2m+n)+(m+n)^2+m^2-2023=0\\
&\therefore\Delta=4(2m+n)^2-12\big[(m+n)^2+m^2-2023\big]\ge0\\
&\therefore m^2+mn+n^2\le\frac{3}{2}\times2023\\
&\text{不妨设 }0\le m\le n,\ \text{则 }3m^2\le\frac{3}{2}\times2023\\
&\text{且 }M=\min\{(m+n)^2,m^2,n^2\}=m^2\\
&\therefore M\le1011.5
\end{aligned}
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