a 的范围不同时指对函数图像关系

（一）当 $a>1$ 时函数图象呈现以下三种情况

（图 1、图 2、图 3）

如图 2，当函数 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 有一个公共点 $(x_0,y_0)$ 在直线 $y=x$ 上，且在该公共点处的切线为 $y=x$，所以有

\begin{cases}a^{x_0}=x_0 & ①\\ a^{x_0}\ln a=1 & ②\end{cases}

①代入②消 $a^{x_0}$ 得 $x_0\ln a=\ln a^{x_0}=1$，$\therefore a^{x_0}=e$，代入②中得

\begin{cases}a=e^{\frac1e}\\ x_0=e\end{cases}

即 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的公共点为 $(e,\ e)$。

结合图象得到以下结论：

（1）当 $a>e^{\frac1e}$ 时，函数 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的图象无公共点（如图 1）

（2）当 $a=e^{\frac1e}$ 时，函数 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的图象有一个公共点（如图 2）

（3）当 $1<a<e^{\frac1e}$ 时，函数 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的图象有两个公共点（如图 3）

（图 4、图 5、图 6）

如图 5，当函数 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 有一个公共点 $(x_0,y_0)$ 在直线 $y=x$ 上，且在该点处有公切线（斜率为 $-1$），

所以有

\begin{cases}a^{x_0}=x_0 & ①\\ a^{x_0}\ln a=-1 & ②\end{cases}

①代入②消 $a^{x_0}$ 得 $x_0\ln a=\ln a^{x_0}=-1$，$\therefore a^{x_0}=\dfrac1e$，代入②中得

\begin{cases}a=e^{-e}\\ x_0=\dfrac1e\end{cases}

即 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的公共点为 $\left(\dfrac1e,\dfrac1e\right)$。

结合图象得到以下结论：

（4）当 $0<a<e^{-e}$ 时，函数 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的图象有三个公共点（如图 4）

（5）当 $a=e^{-e}$ 时，函数 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的图象有一个公共点（如图 5）

（6）当 $e^{-e}<a<1$ 时，函数 $y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的图象有一个公共点（如图 6）