a,b,c正实数，b+c=-根号6

16. 已知 $a$，$b$，$c$ 是正实数，且 $b+c=\sqrt6$，则 $\dfrac{ac^2+2a}{bc}+\dfrac{8}{a+1}$ 最小值为．

解： $\because b+c=\sqrt6$

\therefore \dfrac{ac^2+2a}{bc}+\dfrac{8}{a+1}=\dfrac{(c^2+2)}{(\sqrt6-c)c}a+\dfrac{8}{a+1}

设 $f(x)=\dfrac{(x^2+2)}{(\sqrt6-x)x}\ (x>0)$，则 $f'(x)=\dfrac{\sqrt6x^2+4x-2\sqrt6}{(\sqrt6-x)^2x^2}=\dfrac{(\sqrt6x-2)(x+\sqrt6)}{(\sqrt6-x)^2x^2}$

$\therefore 0<x<\dfrac{2\sqrt6}{6}$ 时 $f(x)$ 单减，$x>\dfrac{2\sqrt6}{6}$ 时 $f(x)$ 单增

\therefore f(x)_{\text{极小值}}=f\left(\dfrac{\sqrt6}{3}\right)=2

\therefore \dfrac{(c^2+2)}{(\sqrt6-c)c}\ge 2\text{，当且仅当 }c=\dfrac{\sqrt6}{3}\text{ 时，等号成立，此时 }b=\dfrac{2\sqrt6}{3}

\therefore \dfrac{ac^2+2a}{bc}+\dfrac{8}{a+1}\ge 2a+\dfrac{8}{a+1}=2(a+1)+\dfrac{4}{a+1}-2\ge 6\text{，当且仅当 }a=1\text{ 时等号成立}

最小值为 $6$．

相似题 1 已知正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，$c\in\mathbf{R}$，则 $\dfrac{3a}{bc^2+b}+\dfrac{1}{abc^2+ab}+2c^2$ 的最小值为．答案为： $4\sqrt3-2$

相似题 2 已知正数 $a$，$b$ 满足 $a+b=1$，$c\in\mathbf{R}$，则 $\dfrac{3a}{bc^2+b}+\dfrac{1}{abc^2+ab}+3c^2$ 的最小值为．答案为： $6\sqrt2-3$

相似题 3 已知 $a$，$b$ 都是正数，则 $\dfrac{5a}{2a+3b}+\dfrac{5b}{3a+2b}$ 的最小值是．答案为： $2$．

相似题 1 为江苏省南京市田家炳高级中学 2022-2023 学年高一上学期 10 月月考数学试题第 16 题

相似题 2 为浙江省嘉兴市海宁中学 2022 届高三下学期押题卷数学试题 3 第 16 题

相似题 23 为广东省五校 2023 届高三上学期期末联考数学试题

【详解】 解：由 $a+b=1$，得 $a^2+2ab+b^2=1$，$a>0,b>0$，

则

\dfrac{3a}{bc^2+b}+\dfrac{1}{abc^2+ab}+2c^2=\dfrac{1}{c^2+1}\left(\dfrac{3a}{b}+\dfrac{a^2+2ab+b^2}{ab}\right)+2c^2=\dfrac{1}{c^2+1}\left(\dfrac{4a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)+2c^2

\ge \dfrac{6}{c^2+1}+2(c^2+1)-2\ge 2\sqrt{\dfrac{6}{c^2+1}\times 2(c^2+1)}-2=4\sqrt3-2,

当且仅当 $\dfrac{4a}{b}=\dfrac{b}{a}$，即 $b=2a$，$\dfrac{6}{c^2+1}=2(c^2+1)$，即 $\left(c^2+1\right)^2=3$ 时取“等号”，

所以当 $a=\dfrac13$，$b=\dfrac23$，$c^2=\sqrt3-1$ 时，

$\dfrac{3a}{bc^2+b}+\dfrac{1}{abc^2+ab}+2c^2$ 的最小值为 $4\sqrt3-2$．

故答案为：$4\sqrt3-2$

【详解】 由 $a+b=1$，得 $a^2+2ab+b^2=1$，$a>0,b>0$，

则

\dfrac{3a}{bc^2+b}+\dfrac{1}{abc^2+ab}+3c^2=\dfrac{1}{c^2+1}\left(\dfrac{3a}{b}+\dfrac{a^2+2ab+b^2}{ab}\right)+3c^2=\dfrac{1}{c^2+1}\left(\dfrac{4a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)+3c^2,

\ge \dfrac{6}{c^2+1}+3(c^2+1)-3\ge 2\sqrt{18}-3=6\sqrt2-3\text{，当且仅当 }b=2a\text{，}\dfrac{6}{c^2+1}=3(c^2+1)\text{ 时取}"="，

所以当 $a=\dfrac13$，$b=\dfrac23$，$c^2=\sqrt2-1$ 时，$\dfrac{3a}{bc^2+b}+\dfrac{1}{abc^2+ab}+3c^2$ 的最小值为 $6\sqrt2-3$．

故答案为：$6\sqrt2-3$

【详解】 因为 $a,b$ 均为正实数，故设 $2a+3b=x$，$3a+2b=y$，则 $x>0,y>0$

联立解得 $a=\dfrac15(3y-2x)$，$b=\dfrac15(3x-2y)$，

\therefore \dfrac{5a}{2a+3b}+\dfrac{5b}{3a+2b}=\dfrac{3y-2x}{x}+\dfrac{3x-2y}{y}

=\dfrac{3y}{x}+\dfrac{3x}{y}-4\ge 2\sqrt{\dfrac{3y}{x}\cdot\dfrac{3x}{y}}-4=2,

当且仅当 $\dfrac{3y}{x}=\dfrac{3x}{y}$，即 $x=y$，即 $2a+3b=3a+2b$，即 $a=b$ 时取等号，

故答案为：$2$．