本题为重庆市名校联盟2026-2027学年高三上学期10月期中联考数学试题第14题
题目：$已知正实数a,b,c,d满足c>d且a+4b=1则$
$\frac{a^2c^2 + bc^2}{ab} + \frac{1}{cd - d^2}$$的最小值为 \underline{\quad}.$
解：$\frac{a^2c^2 + bc^2}{ab} + \frac{1}{cd - d^2} = \frac{ac^2}{b} + \frac{c^2}{a} + \frac{1}{d(c-d)}$
$∵c > d > 0，$
$∴d(c-d) \le \left(\frac{d + c - d}{2}\right)^2 = \frac{c^2}{4}$
$∴ \frac{1}{d(c-d)} \ge \frac{4}{c^2}，当且仅当c=2d时等号成立。$
$又∵a+4b =1$
$∴\frac{c^2}{a} = \frac{(a + 4b)c^2}{a} = c^2 + \frac{4bc^2}{a}$
$代入原式：$
$原式 \ge \frac{ac^2}{b} + c^2 + \frac{4bc^2}{a} + \frac{4}{c^2}$
$\ge 2\sqrt{\frac{ac^2}{b} \cdot \frac{4bc^2}{a}} + c^2 + \frac{4}{c^2}$
$= 4c^2 + c^2 + \frac{4}{c^2}$
$= 5c^2 + \frac{4}{c^2}$
$\ge 2\sqrt{5c^2 \cdot \frac{4}{c^2}}$
$= 4\sqrt{5}$