2023 年 10 月 25 日高中数学作业

1. 设函数 $f(x)=2x+\dfrac ax+b$，其中 $a>0$，$b\in\mathbf{R}$。记 $M(a,b)$ 为 $|f(x)|$ 在 $[1,2]$ 上的最大值，求 $M(a,b)$ 的最小值。

第 1 题解答

解：令 $g(x)=2x+\dfrac ax$，比较 $\sqrt a<2\le 1$？即 $0<\dfrac{\sqrt a}{2}\le1$、$\dfrac{\sqrt a}{2}\ge2$、$1<\dfrac{\sqrt a}{2}<2$ 三种情况，可知当 $1<\dfrac{\sqrt a}{2}<2$，$f(1)=f(2)$，且 $b=-\dfrac{\max\limits_{x\in[1,2]}g(x)+\min\limits_{x\in[1,2]}g(x)}{2}$ 时，$M(a,b)$ 取得最小值，且最小值为

由 $f(1)=f(2)$ 得：$a=4$，所以 $\max\limits_{x\in[1,2]}g(x)=g(1)=6$，

$\min\limits_{x\in[1,2]}g(x)=g\left(\sqrt{\dfrac a2}\right)=g(\sqrt2)=4\sqrt2$，所以 $b=-(3+2\sqrt2)$，

所以 $M(a,b)$ 的最小值为 $\dfrac{6-4\sqrt2}{2}=3-2\sqrt2$。

2. 已知函数 $f(x)=\left|\sqrt{1-x^2}-ax-b\right|$，$x\in[0,1]$，其中 $a$，$b\in\mathbf{R}$，$f(x)$ 的最大值为 $M(a,b)$，则 $M(a,b)$ 的最小值为 。

第 2 题解答

解：函数 $f(x)=\left|\sqrt{1-x^2}-ax-b\right|\le M(a,b)$，即四分之一圆 $y=\sqrt{1-x^2}$，$x\in[0,1]$ 上的点到直线 $x+y=1$ 上的最大距离为 $1-\dfrac{\sqrt2}{2}$，此时圆上的点记为 $P$，如图：

只有过 $PN$ 的中点且平行于直线 $x+y=1$ 的直线才满足条件，所以当 $a=-1$，$b=\dfrac{\sqrt2+1}{2}$ 时，$M(a,b)$ 的最小值为 $g(x)=\sqrt{1-x^2}$，$x\in[0,1]$ 与 $h(x)=ax+b=-x+\dfrac{\sqrt2+1}{2}$ 的纵向距离，即 $M(a,b)$ 的最小值为

故答案为：$\dfrac{\sqrt2-1}{2}$