不等式恒成立 0119
题 1（江西省五市九校 2023 届高三第一次联考数学（理科）试卷）
题目：已知关于 $x$ 的不等式 $e^{ax}\ge 2x+b$ 对任意 $x\in R$ 恒成立，则 $\dfrac{b}{a}$ 的最大值为（ ）
A. $\dfrac{1}{2}$ B. $1$ C. $\dfrac{e}{2}$ D. $\dfrac{e}{4}$
解：由 $e^{ax}\ge 2x+b$ 得 $b\le e^{ax}-2x$ 恒成立
$\therefore\ b\le\left(e^{ax}-2x\right)_{\min}$
设 $f(x)=e^{ax}-2x$，则 $f'(x)=ae^{ax}-2$
当 $a<0$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单减，$f(x)$ 无最小值
$\therefore\ a<0$ 不合题意
当 $a>0$ 时，$x>\dfrac{1}{a}\ln\dfrac{2}{a}$ 时 $f(x)$ 单增，$x<\dfrac{1}{a}\ln\dfrac{2}{a}$ 时 $f(x)$ 单减
$\therefore\ f(x)_{\min}=f\!\left(\dfrac{1}{a}\ln\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{2}{a}-\dfrac{2}{a}\ln\dfrac{2}{a}$
$\therefore\ b\le\dfrac{2}{a}-\dfrac{2}{a}\ln\dfrac{2}{a}$，$\therefore\ \dfrac{b}{a}\le\dfrac{2}{a^2}-\dfrac{2}{a^2}\ln\dfrac{2}{a}$
设 $h(t)=\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^2}{2}\ln t$
$h'(t)=t-t\ln t-\dfrac{t}{2}=\dfrac{t}{2}-t\ln t=\dfrac{t}{2}\left(1-2\ln t\right)=\dfrac{t}{2}\ln\dfrac{e}{t^2}$
$\therefore\ 0<t<\sqrt{e}$ 时 $h(t)$ 单增，$t>\sqrt{e}$ 时 $h(t)$ 单减
$\therefore\ \dfrac{2}{a^2}-\dfrac{2}{a^2}\ln\dfrac{2}{a}$ 在 $0<a<\sqrt{\dfrac{2}{e}}$ 上单增，在 $a>\sqrt{\dfrac{2}{e}}$ 上单减
$\therefore\ \left(\dfrac{2}{a^2}-\dfrac{2}{a^2}\ln\dfrac{2}{a}\right)_{\max}=\dfrac{e}{2}-\dfrac{e}{2}\ln\sqrt{e}=\dfrac{e}{4}$
$\therefore\ \dfrac{b}{a}\le\dfrac{e}{4}$，故选 $\boxed{D}$。
题 2（安徽省皖南八校 2022-2023 学年高三上学期第二次大联考数学试题）
题目：已知 $a<0$，不等式 $x^{a+1}e^x+a\ln x\ge 0$ 对任意的实数 $x>1$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为 .
解：$\because\ x^{a+1}e^x+a\ln x\ge 0$
$\therefore\ xe^x+\dfrac{a\ln x}{x^a}\ge 0$
$\therefore\ xe^x+x^{-a}\ln x^{-a}\ge 0$
$\therefore\ xe^x\ge x^{-a}\ln x^{-a}=\ln x^{-a}e^{x^{-a}}$
设 $f(x)=xe^x$，$f'(x)=e^x(x+1)$
$\therefore\ x>0$ 时，$f(x)$ 单增
$\therefore\ x\ge\ln x^{-a}$
$\therefore\ -a\le\dfrac{x}{\ln x}$
设 $g(x)=\dfrac{x}{\ln x}$，$g'(x)=\dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$
$\therefore\ x>e$ 时，$g(x)$ 单增；$1<x<e$ 时，$g(x)$ 单减
$\therefore\ g(x)_{\min}=g(e)=e$
$\therefore\ a\ge -e$，即实数 $a$ 的最小值为 $\boxed{-e}$。
题 12（安徽省马鞍山市 2022-2023 学年高三第一次教学质量监测（一模）数学试题）
题目：已知函数 $f(x)=ax+\ln a$，$g(x)=x+e^x-\ln x$，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有且只有两个整数解，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
A. $\left(e,e^2\right]$ B. $\left(e,\dfrac{e^2}{2}\right]$ C. $\left(e^2,e^3\right]$ D. $\left(\dfrac{e^2}{2},\dfrac{e^3}{3}\right]$
解：依题 $ax+\ln a>x+e^x-\ln x$，$\therefore\ ax+\ln a+\ln x>x+e^x$
$\therefore\ ax+\ln ax>x+e^x$
$\therefore\ \ln ax+e^{\ln ax}>x+e^x$
设 $h(x)=x+e^x$，显然 $h(x)$ 单增
$\therefore\ \ln ax>x$
$\therefore\ \ln a>x-\ln x$
设 $m(x)=x-\ln x$，则 $m'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$
$\therefore\ 0<x<1$ 时，$m(x)$ 单减，$x>1$ 时，$m(x)$ 单增
$\therefore\ m(1)=1$，$m(2)=\ln\dfrac{e^2}{2}$，$m(3)=\ln\dfrac{e^3}{3}$
$\because\ ax+\ln a>x+e^x-\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 只有两个整数解
$\therefore\ \dfrac{e^2}{2}<a\le\dfrac{e^3}{3}$
故选 $\boxed{D}$。
第 12 题相似题 1
已知函数 $f(x)=e^{t^2}-\ln x+(t-1)x$，若 $f(x)\ge 0$ 恒成立，则实数 $t$ 的可能值为（ ）
A. $\dfrac{1}{e}$ B. $\dfrac{1}{2e}$ C. $\dfrac{1}{e^2}$ D. $\dfrac{2}{e}$
第 12 题相似题 2
已知函数 $f(x)=x+\ln x$，$g(x)=x\ln x$，若 $f(x_1)=2\ln t$，$g(x_2)=t^2$，则 $\dfrac{\ln t}{x_1x_2}$ 的最大值为 $\dfrac{1}{2e}$。
题 16（安徽省六安市省示范高中 2022-2023 学年高三上学期期末数学试题）
题目：已知函数 $f(x)=x+\ln x$，$g(x)=x\ln x$，若 $f(x_1)=2\ln t$，$g(x_2)=t^2$，则 $\dfrac{\ln t}{x_1x_2}$ 的最大值为 .
【答案】 $\dfrac{1}{2e}$
【解析】
【详解】 由 $f(x_1)=2\ln t$ 得：$x_1+\ln x_1=\ln e^{2\ln t}=\ln t^2$；
由 $g(x_2)=t^2$ 得：$x_2\ln x_2=\ln x_2\cdot e^{\ln x_2}=t^2$，$\therefore\ \ln t^2=\ln(\ln x_2)+\ln x_2$；
$\therefore\ x_1+\ln x_1=\ln(\ln x_2)+\ln x_2$，
令 $m(x)=x+\ln x$，$\therefore\ m(x_1)=m(\ln x_2)$，
$\because\ m'(x)=1+\dfrac{1}{x}>0$，$\therefore\ m(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，$\therefore\ x_1=\ln x_2$；
$\therefore\ \dfrac{\ln t}{x_1x_2}=\dfrac{\ln t}{x_2\ln x_2}=\dfrac{\ln t}{t^2}$；
令 $h(t)=\dfrac{\ln t}{t^2}$，则 $h'(t)=\dfrac{1-2\ln t}{t^3}$，
则当 $t\in\left(0,\sqrt{e}\right)$ 时，$h'(t)>0$；当 $t\in\left(\sqrt{e},+\infty\right)$ 时，$h'(t)<0$；
$\therefore\ h(t)$ 在 $\left(0,\sqrt{e}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\sqrt{e},+\infty\right)$ 上单调递减，
$\therefore\ h(t)_{\max}=h\left(\sqrt{e}\right)=\dfrac{1}{2e}$，即 $\dfrac{\ln t}{x_1x_2}$ 的最大值为 $\dfrac{1}{2e}$.
故答案为：$\dfrac{1}{2e}$.
题 8
题目：已知函数 $f(x)=xe^x-a(x+\ln x)+3$，对于 $\forall x\in(0,+\infty)$，$f(x)\ge 4$ 恒成立，则满足题意的 $a$ 的取值集合为（ ）
A. $\{0\}$ B. $\{0,1\}$ C. $\{-1,0,1\}$ D. $\{1\}$
解：$xe^x-a(x+\ln x)+3\ge 4$ 恒成立
即 $xe^x-a(\ln e^x+\ln x)+3\ge 4$ 恒成立
即 $a(\ln xe^x)-xe^x+1\le 0$ 恒成立
令 $xe^x=t$
$\therefore\ a\ln t-t+1\le 0$ 恒成立
设 $g(t)=a\ln t-t+1$，则 $g'(t)=\dfrac{a}{t}-1=\dfrac{a-t}{t}$
$\therefore\ 0<t<a$ 时，$g(t)$ 单增，$t>a$ 时，$g(t)$ 单减
$\therefore\ g(t)_{\text{极大值}}=g(a)=a\ln a-a+1\le 0$
设 $h(x)=x\ln x-x+1$，则 $h'(x)=\ln x$
$\therefore\ x>1$ 时 $h(x)$ 单增，$0<x<1$ 时 $h(x)$ 单减
$\therefore\ h(x)_{\text{极小值}}=h(1)=0$
$\therefore\ a\ln a-a+1\ge 0$
$\therefore\ a\ln a-a+1=0$
$\therefore\ a=1$
故选 $\boxed{D}$。